জ্যামিতিক পদ্ধতি (Geometric Method)

একই জাতীয় দুটি ভেক্টর রাশিকে যোগ বা বিয়োগ করা যায়। (Two vectors of the same type can be added or subtracted.) যেমন সরণের সাথে কেবল সরণই যোগ বা বিয়োগ করা চলে। (For example, displacement can only be added to displacement.) সরণের সাথে বেগের যোগ বা বিয়োগের প্রশ্নই ওঠে না। (There is no question of adding or subtracting velocity with displacement.)

ভেক্টর রাশির মান ও দিক দুই-ই আছে। (Vectors have both magnitude and direction.) এই কারণে ভেক্টর রাশির যোগ-বিয়োগ সাধারণ বীজগণিতের নিয়মানুযায়ী করা হয় না। (Therefore, vector addition and subtraction are not done according to the rules of ordinary algebra.) ভেক্টর রাশির দিকই এ সব ক্ষেত্রে বিঘ্ন ঘটায়। (The direction of vectors complicates things in these cases.)

যেমন ধরা যাক, একটি নৌকায় দাঁড়ের বেগ ঘণ্টায় 8 কিলোমিটার এবং একটি নদীর পানির স্রোতের বেগ ঘণ্টায় 6 কিলোমিটার। (For example, consider a boat with a rowing speed of 8 km/h and a river current speed of 6 km/h.) নৌকাটিকে ঐ নদীর এক পাড় হতে সোজা অপর পাড়ের দিকে চালালে, নৌকাটির উপর যে দুটি বেগ ক্রিয়া করবে এদের যোগফল (8 + 6) = 14 কিলোমিটার / ঘণ্টা দ্বারা নৌকাটির প্রকৃত বেগ পাওয়া যাবে না—প্রকৃত বেগ সম্পূর্ণ আলাদা হবে। (If the boat is steered straight across the river, the resultant speed (8 + 6) = 14 km/h will not give the actual speed of the boat—the actual speed will be different.) আবার নৌকাটির গতিমুখ ঐ দুই বেগের মাঝামাঝি কোন এক দিকে হবে। (Moreover, the direction of the boat will be somewhere in between the two speeds.) এই কারণে ভেক্টর রাশির যোগ-বিয়োগ জ্যামিতিক পদ্ধতি অনুসারে করতে হয়। (Therefore, vector addition and subtraction must be done using geometric methods.)

একই অভিমুখী দুটি ভেক্টর রাশি যোগ করতে হলে রাশি দুটিকে একই দিকে নির্দেশ করতে হয়, (To add two vectors in the same direction, they must point in the same direction,) আর বিয়োগ করতে হলে একটি ভেক্টর রাশিকে অপরটির বিপরীত দিকে নির্দেশ করতে হয়। (and to subtract, one vector must point in the opposite direction of the other.) কিন্তু দুই বা ততোধিক ভেক্টর রাশি একটি বিন্দুতে ক্রিয়া করলে এদের যোগফল আর একটি নতুন ভেক্টর রাশি হবে। (But when two or more vectors act at a point, their sum will be a new vector.) দুই বা ততোধিক ভেক্টর রাশি যোগে যে একটি নতুন ভেক্টর রাশি হয় তাকে এদের লবি (Resultant) বলে। (The new vector resulting from the addition of two or more vectors is called the resultant.) অর্থাৎ লব্ধি হল ভেক্টর রাশিগুলোর সম্মিলিত ফল। (In other words, the resultant is the combined effect of the vectors.)

Example with Geometric Addition:

1. Example of Vector Addition:

   Suppose we have two vectors, 𝐴⃗A and 𝐵⃗B:

   𝐴⃗=3𝑖^+4𝑗^A=3i^+4j^​
   𝐵⃗=4𝑖^+3𝑗^B=4i^+3j^​

   To find the resultant vector 𝑅⃗R:

   𝑅⃗=𝐴⃗+𝐵⃗=(3𝑖^+4𝑗^)+(4𝑖^+3𝑗^)=(3+4)𝑖^+(4+3)𝑗^=7𝑖^+7𝑗^R=A+B=(3i^+4j^​)+(4i^+3j^​)=(3+4)i^+(4+3)j^​=7i^+7j^​

   So, the resultant vector 𝑅⃗R is 7𝑖^+7𝑗^7i^+7j^​.

2. Example of Vector Subtraction:

   Suppose we want to subtract 𝐵⃗B from 𝐴⃗A:

   𝑅⃗=𝐴⃗−𝐵⃗=(3𝑖^+4𝑗^)−(4𝑖^+3𝑗^)=(3−4)𝑖^+(4−3)𝑗^=−1𝑖^+1𝑗^R=A−B=(3i^+4j^​)−(4i^+3j^​)=(3−4)i^+(4−3)j^​=−1i^+1j^​

   So, the resultant vector 𝑅⃗R is −1𝑖^+1𝑗^−1i^+1j^​.

১.৫ ভেক্টর রাশির যোগ

জ্যামিতিক পদ্ধতিতে ভেক্টর রাশির যোগ নিম্নলিখিত পাঁচটি সূত্রের সাহায্যে করা যায়; যথা-

(১) সাধারণ সূত্র (General law) 

(২) ত্রিভুজ সূত্র (Law of triangle )

(৩) বহুভুজ সূত্র (Law of polygon )

(৪) সামান্তরিক সূত্র (Law of parallelogram) এবং

(৫) উপাংশ সূত্র (Law of components)

এই অনুচ্ছেদে প্রথম চারটি সূত্র আলোচনা করা হল :

১.৫.১ সাধারণ সূত্র

সূত্র : সমজাতীয় দুটি ভেক্টরের প্রথমটির শীর্ষ বা শেষবিন্দু এবং দ্বিতীয়টির আদি বিন্দু একই বিন্দুতে স্থাপন করে প্রথম ভেক্টরের আদি বিন্দু ও দ্বিতীয় ভেক্টরের শীর্ষবিন্দুর মধ্যে সংযোগকারী সরলরেখার দিকে লব্ধি ভেক্টরের দিক এবং ঐ সরলরেখার দৈর্ঘ্য ভেক্টর দুটির লব্ধির মান নির্দেশ করবে।

ধরা যাক একই বিন্দুতে একই সময়ে ক্রিয়াশীল দুটি ভেক্টর রাশি $\overrightarrow{P}$ ও $\overrightarrow{Q}$ -এর লব্ধি $\overrightarrow{R}$ নির্ণয় করতে হবে।

$\overrightarrow{P}$ নির্দেশী সরলরেখা AB-এর শীর্ষবিন্দু B তে $\overrightarrow{Q}$ নির্দেশী সরলরেখার আদিবিন্দু থাকে। এরূপে BC রেখা দ্বারা $\overrightarrow{Q}$ নির্দেশ করে  $\overrightarrow{P}$ -এর আদিবিন্দু A এবং  $\overrightarrow{Q}$ -এর শীর্ষবিন্দু C যুক্ত করি এবং রেখাটিকে A হতে C অভিমুখে তীর চিহ্নিত করি [চিত্র ১১২]। তা হলে তীর চিহ্নিত AC রেখাই  $\overrightarrow{R}$  নির্দেশ করবে। এখানে রাশি দুটির যোগফল নিম্ন উপায়ে লেখা হয় —

$\overrightarrow{R}$ = $\overrightarrow{P}$ + $\overrightarrow{Q}$         (1)

অনুরূপে দুই বা ততোধিক ভেক্টর রাশি যোগ করা যায়।

১.১৩ চিত্রে তিনটি ভেক্টর রাশি  $\overrightarrow{P}$, $\overrightarrow{Q}$  ও $\overrightarrow{S}$ যথাক্রমে তীর চিহ্নিত OA, AB ও BC সরলরেখায় নির্দেশ করে OC সরলরেখা দ্বারা এদের লব্ধি  $\overrightarrow{R}$ সূচিত হয়েছে।

এখানে লব্ধি, $\overrightarrow{R}$ = $\overrightarrow{P}$  +  $\overrightarrow{Q}$ + $\overrightarrow{S}$