দুটি দিক রাশি বা ভেক্টর রাশির গুণফল সাধারণত দুই প্রকার, যথা—
(১) স্কেলার গুণন বা ডট গুণন (Scalar or Dot product
(২) ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন (Vector or Cross product)
এই দুটি গুণন বা গুণফল নিম্নে পৃথক পৃথকভাবে আলোচনা করা হল।
স্কেলার গুণন বা ডট গুণন
সংজ্ঞা :
দুটি ভেক্টর রাশির কেলার গুণফল একটি স্কেলার রাশি হবে যার মান রাশি দুটির মান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনের (cosine) গুণফলের সমান। ভেক্টর রাশি দুটির মাঝে (.) চিহ্ন দিয়ে ডট গুণফল প্রকাশ করা হয় এবং পড়তে হয় “প্রথম রাশি ডট দ্বিতীয় রাশি।”
বা, স্কেনার গুণফল দুটি ভেক্টরের মানের গুণফলের সাথে তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনের গুণফল।
ব্যাখ্যা ঃ মনে করি 𝑃→ ও 𝑄→ দুটি ভেক্টর রাশি। তীর চিহ্নিত OA ও OC সরলরেখা রাশি দুটির মান ও দিক নির্দেশ করছে [চিত্র ২.৩০)। এরা পরস্পরের সাথে 𝛼 কোণে আনত। তাদের স্কেলার বা অদিক গুণফল = 𝑃→. 𝑄→ দ্বারা নির্দেশ করা হয় এবং পড়তে হয় 𝑃→ ডট 𝑄→ কাজেই সংজ্ঞা অনুসারে পাই,
𝑃→ . 𝑄→ = l 𝑃→ l 𝑄→ l cos α
বা, 𝑃→ 𝑄→ = PQ cos α .. (33)
এখানে 0 <α <π
সমীকরণ (33) হতে দেখা যায়, গুণফল একটি স্কেলার রাশি।
বিশেষ দ্রষ্টব্য :
(ক) যদি α = 0° হয়, তবে 𝑃→.𝑄→ – PQ cos 0° = PQ। এক্ষেত্রে ভেক্টর দুটি পরস্পরের সমান্তরাল হবে।
(খ) যদি α = 90° হয়, তবে 𝑃→.𝑄→ =PQ cos 90° = 0 । এক্ষেত্রে ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব হবে।
(গ) যদি α= 180° হয়, তবে 𝑃→.𝑄→= PQ cos 180° = – PQ। এক্ষেত্রে ভেক্টর দুটি পরস্পরের সমান্তরাল এবং বিপরীতমুখী হবে।
স্কেলার গুণনের উদাহরণ :
বল 𝐹→ এবং সরণ 𝑠→ উভয়েই ভেক্টর রাশি। কিন্তু এদের স্কেলার গুণফল কাজ (W) একটি স্কেলার রাশি অর্থাৎ
W = .𝐹→.𝑠→ = Fs cos α.. (34)
স্থিতিশক্তি, বৈদ্যুতিক বিভব ইত্যাদিও ভেক্টর রাশির স্কেলার গুণফলের উদাহরণ।